Perspective

1) Introduction

Le but général de la perspective est de représenter des objets de l'espace à trois dimensions par des figures du plan. Plus précisément, on voudrait les représenter de telle manière que lorsqu'on regarde cette figure, on voie la même chose que lorsqu'on regarde l'objet de l'espace qu'elle représente.
Nous allons donc examiner dans un premier temps la géométrie du champ de vision, qui est la géométrie sphérique (sauf qu'on ne peut voir environ qu'une demie-sphère à la fois). Puis nous allons examiner les différentes manières de voir un plan, qui donnent lieu aux différentes perspectives (centrale, frontale ou cavalière). Dans le cas où ce que l'on veut représenter est déjà une figure d'un plan, mais disposé autrement, la distinction des notions géométriques qui sont fidèlement représentées par opposition à celles qui sont faussées nous introduira à d'autres géométries (géométrie affine d'une part, géométrie projective d'autre part), plus pauvres que la géométrie euclidienne à laquelle nous sommes habitués. Enfin nous verrons des constructions pratiques pour manipuler la géométrie euclidienne sur des plans en perspective centrale, et l'appliquerons à la représentation en perspective de quelques objets simples.

2) Champ de vision et géométrie sphérique

Quand on voit un point, ce qu'on voit en fait est un rayon lumineux arrivant sur l'oeil: l'objet produisant ce point est situé quelque part sur la demie-droite issue de l'oeil O (supposé ponctuel) et dans la direction observée. L'ensemble des demi-droites issues de O peut être représenté par une sphère de centre O: chaque "point" de la vision est un rayon et coupe cette sphère en un point. Mais de cette sphère nous ne voyons environ qu'une moitié à la fois, contrairement à beaucoup d'animaux (chevaux, poissons...) qui, ayant les yeux sur le côté, peuvent percevoir quasiment toute cette sphère en même temps. En remplaçant l'oeil par la Terre, le champ de vision est la sphère céleste (dont par contre même les animaux ne peuvent voir qu'une moitié à la fois, à cause de la Terre qui cache l'autre). C'est pourquoi le meilleur écran de cinéma pour exploiter entièrement cette capacité de vision est un écran en demie-sphère comme à la Géode.

Voyons à présent les notions de géométrie que l'on peut mettre sur cette sphère (ou demie-sphère). On trouve la notion de droite, que l'on peut définir de plusieurs manières équivalentes:
C'est un cercle contenu dans la sphère et dont le rayon (mesuré dans l'espace) est maximum (égal au rayon de la sphère); son centre est O (= centre de la sphère)
C'est aussi l'intersection de la sphère avec un plan passant parO.
C'est une géodésique, c'est-à-dire que c'est localement le plus court chemin entre deux de ses points.
De plus, l'image D' de toute droite D de l'espace ne passant pas par O est une moitié de droite de la sphère (autrement dit un demi-cercle de centre O); les extrémités de D', qui sont des points antipodaux, sont appelés points de fuite de la droite D.

On définit aussi la notion de cercle en géométrie sphérique, de manière équivalente comme étant l'ensemble des points à une même distance d'un point donné, ou encore l'intersection de la sphère avec un plan, ou une autre sphère.

En géométrie sphérique, on a les propriétés suivantes:

Deux droites distinctes se coupent toujours en deux points distincts, qui sont antipodaux. Ainsi il n'existe pas de droites parallèles. Par deux points distincs et non antipodaux passe une droite unique.

On a une correspondance exacte entre droites et paires de points antipodaux : si on tourne la sphère pour placer cette droite à l'équateur, ces points deviennent les pôles. Appelons-les les pôles de la droite.

Les propriétés géométriques des figures s'approximent d'autant mieux par la géométrie euclidienne que leur taille est faible par rapport au rayon de la sphère (on rappellera ce phénomène en disant que la sphère est "localement euclidienne").

On définit les angles de droites (ou de demi-droites) comme en géométrie euclidienne, d'après la situation au voisinage du point d'intersection. Deux droites seront alors perpendiculaires (en ce sens) lorsque l'une passe par le pôle de l'autre. La distance entre deux points (longueur du plus court chemin) est alors égale à l'angle entre les droites de pôles ces deux points, si on mesure les angles en radians et qu'on choisit le rayon de la sphère comme unité de longueur.

On peut retrouver dans cette géométrie les constructions usuelles sur les triangles (cercle circonscrit, cercle inscrit, centre de gravité, orthocentre), à quelques cas exceptionnels près. Pour démontrer l'existence des deux premiers dans le cas générique il suffit d'imiter la démonstration usuelle du cas euclidien; pour les suivants c'est un peu plus subtil. L'existence de l'orthocentre peut sembler difficile à démontrer de façon élémentaire; sans parler du fait que cela peut se déduire très rapidement du calcul vectoriel (au programme de bac+1), on pourra ici le déduire d'une simple observation de perspective.

La somme des angles d'un triangle n'es pas égale à 180 degrés mais est plus grande; la différence (toujours en radians) est égale à l'aire du triangle. On peut avoir un triangle avec deux ou trois angles droits.

3) Les différentes perspectives.

Nous allons voir trois sortes de perspective (manières de représenter un objet par une figure du plan). A chaque fois, la vue de l'objet est identique à celle de la figure (dans la sphère de vision), mais le plan de la figure peut se disposer de différentes manières dans l'espace par rapport à l'observateur.

Première situation: la taille de la figure est comparable à sa distance à l'observateur O. On a donc dans l'espace un point O et un plan P de la représentation (ne contenant pas O). Or il n'y a qu'une sorte de manière de disposer ainsi un point et un plan dans l'espace: O étant fixé, le plan P se définit d'une part par sa distance d à O; de l'autre par sa direction, ou de manière équivalente par un rayon w appelé point de vue, perpendiculaire à P et le rencontrant. (on suppose généralement que w est la direction dans laquelle on regarde). En fixant w, la valeur de d influe uniquement sur la taille du dessin et non ses proportions (changer d se traduit par une homothétie). C'est la perspective centrale.

Deuxième situation: la figure est très petite devant sa distance à l'observateur (autrement dit celui-ci est à l'infini par rapport à l'objet). On distingue alors deux cas, suivant que le plan de la figure est ou non orthogonal à la direction reliant l'objet à l'observateur. Si oui, on a une projection orthogonale (et alors la géométrie euclidienne de ce plan coïncide avec la géométrie euclidienne locale de la sphère de vision), sinon on a une perspective cavalière : c'est en fait une projection sur un plan parallèlement à une droite donnée, non orthogonale au plan.

4) Géométrie projective et géométrie affine

Dans la suite de cette étude, nous nous intéresserons aux deux questions suivantes, qui sont au coeur du problème de la perspective:

- Lorsqu'on représente en perspective une figure d'un plan de l'espace dans un autre plan, quelles sont les propriétés de la figure qui restent vraies, et sur lesquelles on peut se fier (si on veut par exemple construire l'image d'une figure qui se construisait simplement) ?

- Quant aux notions qui sont modifiées, comment peut-on les reconstituer ?

Pour répondre à la première question, on va introduire deux nouvelles géométries.
Précisons d'abord ce qu'on appelle une géométrie. C'est la donnée de:
- un registre de vocabulaire : une liste de notions qui sont définies (exemple : les droites donc l'alignement, les distances, les angles, les cercles et donc la cocyclicité,...), auxquelles on ajoute naturellement toutes les autres notion définissables au moyen des premières.
- parmi les propositions générales formulables au moyen de ce vocabulaire, lesquelles sont vraies.

On a vu précédemment la géométrie sphérique : elle possède à peu près le même registre de vocabulaire que la géométrie euclidienne, mais on n'a pas les mêmes propositions vraies.
Ce qu'on va voir à présent, ce sont deux géométries ayant un vocabulaire plus restreint, mais où ces notions ont les mêmes propriétés (les propositions restant formulables au moyen de ce vocabulaires sont exactement vraies comme en géométrie euclidienne).

La géométrie projective est constituée des notions (propriétés des figures) qui sont conservées lors d'une perspective centrale (autrement dit, ce sont les notions qui se voient directement sur la figure lors d'une telle perspective): ce sont avant tout les propriétés d'alignement (notion de droite), puis la notion de birapport de quatre points alignés (ou de quatre droites concourrantes). On n'a pas la notion de droites parallèles, car deux droites distinctes se coupent toujours en un point. Cela vient de la géométrie sphérique où deux droites distinctes se coupaient en deux points antipodaux : à présent on confond les points antipodaux (autrement dit les nouveaux points sont les paires de points antipodaux). Lorsqu'on représente cela concrètement dans un plan, on dit que les droites qui semblent parallèles se coupent à l'infini (ainsi les bords d'une route qui sont parallèles ont des images qui se coupent à l'horizon).
Les transformations qui conservent ces notions sont appelées transformations projectives du plan; elles s'obtiennent en effectuant successivement une ou plusieurs perspectives centrales.

De même, la géométrie affine est l'étude des notions conservées par projections orthogonales et perspectives cavalières; les transformations qui les conservent, appelées transformations affines, s'obtiennent par une projection orthogonale suivie d'une homothétie. Les notions affines sont principalement: le parallélisme, le rapport de longueurs de segments parallèles, le rapport des aires.

La géométrie projective est contenue dans la géométrie affine, laquelle est contenue dans la géométrie euclidienne (au sens de l'inclusion des notions); cela se traduit par le fait que les similitudes (composées de rotations et d'homothéties) qui sont les transformations conservant les notions de géométrie euclidienne, sont des cas particuliers de transformations affines, lesquelles sont des cas particuliers de transformations projectives.

Ne font pas partie de la géométrie affine les notions de : distances (pas même les rapport de longueurs de segments non parallèles), angles, cercles, rotations, orthogonalité.

Il semblerait faux a priori de dire que la géométrie projective soit inclue dans la géométrie affine. Mais pour rendre cela vrai, il faut d'abord introduire les "points à l'infini" comme étant les classes de droites parallèles, puis confondre ces points à l'infini parmi les autres points.

Sylvain Poirier - UME 1999

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