L'enonce etait:
Si on se donne un cône plein ( hauteur h, rayon r ) portant en tout la charge Q... est-ce qu'on a une chance par le calcul d'arriver à calculer la répartition des charges ?

Sinon est-ce qu'il existe des formes où le calcul permet de trouver une répartition non triviale... en fait je cherche surtout un exemple qui mette l'effet de pointe en evidence de manière quantitative et non qualitative...

Je suppose que plein de chercheurs en théorie du potientiel ont déjà dû étudier ce problème très sérieusement mais bien sûr comme on n'a pas leurs articles comme ca sous la main, il faut recommencer.

Voici ce que j'ai trouvé.
Je crois pouvoir dire qu'il n'y a pas de solution formelle complète (puisque j'ai connu un probleme qui semblait insoluble et est un cas limite d'un prolongement analytique de celui-ci) mais on peut quand même trouver formellement pas mal d'infos dessus.

D'abord, simplifions le problème: un cône de hauteur h c'est vraiment inabordable, il faut prendre un cône infiniment grand.
Soit z le vecteur d'axe sortant, et repérons un point extérieur par ses coordonnées sphériques: r la distance au sommet, t (pour "theta") l'angle fait avec z;
il varie de -a à a, où a définit l'ouverture du cône conducteur: il est entre pi/2 (cône aplati en un plan) et pi (aiguille).

On cherche le potentiel sous la forme V=f(t)r^l où l (pour "lambda") est une constante réelle comprise entre 0 et 1, et f est une fonction avec f(0)=1, f'(0)=0 (f est symétrique), f est positive et s'annule en +/-a. En posant l'équation de Laplace sur V, on trouvera une équadif sur f dépendant de l.

En principe, cette équation détermine f en fonction de l. Or en fait on cherche l à partir de a. Donc l est défini par le fait que la solution f correspondante a son zero en a.

La densité surfacique de charge sur le cône est alors r^(l-1) f'(-a) (donc elle augmente quand  r -> 0 mais si c'est une aiguille et qu'on regarde la densite lineique alors ca diminue).

Si on remplaçait le cône (à 3 dimensions) par le problème analogue à 2 dimensions, ce qui revient à considérer non un cône mais une arête reliant 2 demi-plans, il y aurait une solution exacte:
c'est f(t)=cos(lt), donc l=pi/(2a).
(On peut voir ça comme issu de l'analyse complexe.)

Mais pour un cône il n'y a pas de solution exacte: l'équadif équivaut à poser que la restriction W de V à la sphère de centre le sommet du cône et de rayon 1 (virtuellement W=f) vérifie

l(l+1)W + laplacien de W = 0

avec

laplacien de W = f" + (cotan t) f'

Il y a des solutions exactes pour chaque valeur entière de l: ce sont les harmoniques sphériques (cf cours de physique quantique). Mais ici au contraire on a besoin de valeurs de l comprises entre 0 et 1. Là donc on ne sait pas complètement résoudre.
Remarque: dans le cas à 2 dimensions on avait l variant de 1/2 (pour a=pi) à 1 (pour a=pi/2).
Maintenant, l varie de 0 (a=pi) à 1 (a=pi/2).
Ce qu'on peut faire c'est calculer un équivalent de l quand a tend vers pi.

L'équation se réécrit

l(l+1)sin t f(t) + (f'sin t)'=0

Posons k=l(l+1), u=cos t, et g(u)=f(t), donc f'=(-sin t)g' et l'équation devient

  kg+((1-u^2)g')'=0

(g est définie pour u entre cos a et 1)

La condition en t=0 qu'on a dite devient : g(1)=1 et g'(1) est fini.
Donc en u=1 on a (1-u^2)g'=0.

Donc:  (1-u^2)g' = l'intégrale de kg de u à 1.

Remarquons que kg est positif donc (1-u^2)g' décroît vers 0, or 1-u^2 est positif donc g est croissante de g(cos a)=O vers g(1)=1.

Donc par intégration 0< (1-u^2)g' < k(1-u), autrement dit 0< (1+u)g' <k

Comme k est petit et g(1)=1, g sera proche de 1 tant que u ne sera pas proche de -1.

Donc par intégration on a les approximations (app)
(1-u^2)g' app k(1-u)
g' app k/(1+u)
g app 1+ k ln((1+u)/2)

Par hypothèse, g=0 lorsque u=cos a : k = l(l+1) app -1/ ln((1+cos a)/2)

Ouf !
Si on veut s'amuser on peut encore continuer l'approx...

Sylvain
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