Théorème de Cantor-Bernstein
Théorème
S'il existe une injection i d'un ensemble E vers un ensemble F et une
injection
j de F vers E, alors il existe une bijection f de E sur F.
Commentaire
La démonstration de ce théorème se trouve
facilement
dans les cours de théorie des ensembles.
Elle est un peu longue (environ une page) et un peu difficile.
Mais voici d'une part une version "intuitive" de cette
démonstration.
D'autre part une autre démonstration rigoureuse, hypercourte et
méconnue, basée sur un résultat fondamental
(méconnu aussi, à mon avis à tort). Au
début que j'y ai pensé, je la
croyais inconnue jusque-là. Finalement, une petite recherche sur
le web a permis de la retrouver ici
et de découvrir le nom du théorème sur lequel elle
se base: théorème de Tarski-Knaster. Seulement dommage
que la page
du théorème de Tarski-Knaster qui y figure contient
une énorme bourde: même si l'ensemble des points fixes est
un treillis complet, et que la stabilité par
bornes sup et bornes inf implique la complétude,
néanmoins la stabilité par
bornes sup et bornes inf est fausse dans le cas général
(il y a un contre-exemple
très facile), même s'il peut certes être vrai dans
des cas particuliers comme en l'occurence celui de l'application
utilisée pour Cantor-Bernstein.
Bon, un
autre texte en anglais qui utilise la même méthode.
Le truc est donc d'utiliser le théorème de
Tarski-Knaster, ou plutôt une première étape de ce
théorème (existence d'un point fixe, et du coup on peut
mentionner l'existence d'un plus grand et d'un plus petit point fixe,
sans aller jusqu'à montrer que c'est un treillis complet),
résultat méconnu, pourtant assez facile
à démontrer et très utile par ailleurs si on veut
fonder les mathématiques rigoureusement sans trop de
complications, en particulier justifier simplement et rigoureusement le
principe de définition des suites par récurrence (ou par
induction sur les ordinaux ou les ensembles bien-fondés: c'est
pour ça que j'ai pensé nécessaire de l'introduire,
non pour Cantor-Bernstein !).
Cette démonstration rigoureuse, donc, est d'apparence moins
explicite que la démonstration traditionnelle (ben oui, pour
voir une chose comme explicite il faut prendre le temps de
l'expliciter), mais c'est au fond une autre présentation de la
même construction (en effet c'est la même bijection qui est
obtenue). En particulier cela n'utilise pas l'axiome du choix.
Démonstration intuitive
Imaginons l'ensemble E des personnes venues assister à un match
de foot dans un stade muni d'un ensemble F de sièges. Chaque
personne
x avait un billet de réservation pour le siège i(x).
Hélas,
ces gens indisciplinés se sont assis n'importe où, au
point
que les derniers arrivés ne trouvèrent plus de place:
chaque
siège (y) était occupé par j(y). Alors, les gens
debout
allèrent a leurs sièges réservés et
chassèrent
les personnes mal élevées qui les avaient pris. Ces
dernières
firent de même, et ainsi de suite. Une éternité
plus
tard, tout le monde était assis (x sur f(x)), et le match put
enfin
commencer.
Démonstration formelle
Théorème
utilisé
: toute application croissante de
l'ensemble des parties d'un ensemble dans lui-même a un point
fixe.
Acceptant
donc ce résultat, le théorème de Cantor-Bernstein
en découle comme suit:
L'application qui à toute partie A
de E associe E\j[F\i[A]]
étant croissante, a un point fixe M. Alors l'application qui
à tout x de E associe i(x) si x appartient à M et j-1(x)
sinon, est une bijection de E sur F.
CQFD
Voir mes textes sur
les fondements des mathématiques que j'ai finalement
complétés jusqu'à ces résultats
(décembre 2005), même s'il reste beaucoup d'idées
en projet pour la suite. Si je vous invite à aller voir, ce
n'est pas principalement pour la démonstration du
théorème ci-dessus (qui peut aisément se faire
indépendamment en une demie-page), mais plutôt parce que
j'y expose des points de vue originaux sur bien d'autres notions
"élémentaires" des mathématiques.
On
en discute sur Les-mathématiques.net
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