Maîtrise de Mathématiques, ann√©e 2003-2004

Université de la Réunion, Faculté des sciences et technologies

Objectif pédagogique et professionnel

Les étudiants sont destinés à poursuivre par un DEA de mathématiques, ou une préparation à l’Agrégation de mathématiques

Recrutement

Sont admis de plein droit en Maîtrise de  Mathématiques les étudiants titulaires d’une licence de Mathématiques

Modalités de Contrôle de Connaissances.

Les modalités de contrôle de connaissances de la licence de mathématiques respectent les modalités générales de contrôle de connaissances pour les diplômes de second cycle délivrés par l’université de la Réunion.
La licence de Mathématiques est composée de huit unités d’enseignement.
Les huit unités d’enseignement sont obligatoires.
La huitième unité d’enseignement propose le choix d’une matière parmi deux.
Chaque UE est composée de matieres.
Pour chaque matière, une seule note sera attribuée. Pour toutes les matières, à l’exclusion de l’anglais scientifique et du travail d’études et de recherche, la note sera élaborée à partir d’une ou plusieurs épreuves écrites individuelles en temps limité de façon à couvrir l’ensemble du programme. Pour l’anglais scientifique, la note est élaborée à partir d’une ou plusieurs épreuves écrites individuelles en temps limité et d’un contrôle continu (devoirs, tests, exposés, mini-projets...) comprenant une partie orale. La note du travail d’études et de recherche est élaborée à partir d’un dossier d’études et de recherche. et d’une soutenance orale.
La compensation est totale à l’intérieur de chaque UE, sans note éliminatoire.
Le diplôme est attribué, après délibération du jury, aux étudiants ayant obtenu une moyenne générale  coefficientée supérieure ou égale à 10. Les mentions assez-bien, bien et très-bien sont attribuées pour une moyenne générale respectivement supérieure ou égale à 12, 14 ou 16. Le jury pourra valider la participation justifiée à des activités artistiques, culturelles ou sportives en ajoutant à chaque unité d’enseignement un même bonus au plus égal à 1/2 point.
Les unités d’enseignement pour lesquelles la note finale est supérieure ou égale à 10 sont acquises à titre définitif.
Une seconde session est organisée en Septembre.

Unités composant la formation

Responsable Pédagogique : Adrian Mathias (adrian.mathias(at)univ-reunion.fr)
 
Premier semestre : 230 à 280 h - 30 Cr.

UE1 - 85 h - Coefficient : 1,7 - ECTS : 8,5 Cr - Responsables des matières : J.P Aubry ; P. Charton, S. Burckel
Matières Cours TD TP Total
Modules et Algèbre 25 25 5
55
Algorithmique et Informatique 5

25 30

UE2 - 95 h - Coefficient : 1,9 - ECTS : 9,9 Cr - Responsables des matières : M. Morillon ; A. Mathias.
Matières Cours TD Total
Topologie et analyse complexe 30 30 60
Anglais scientifique 35
35


UE3 - 90h - Coefficient 1 - ECTS : 7 Cr - Responsable des matières : C.A Payet ; S. Burckel
Matières Cours TD Total
Probabilité et statistique 30 30 60
Combinatoire 15
15
30

UE8-1 - Option 1 – (MINF) 50h - Coefficient 1 - ECTS : 7Cr - Responsable des matières : T. Knapik
Matières Cours TD Total
calculabilité, complexité, codes et cryptographie 20 30 50
 
Deuxième semestre : 265 à 315 - 30 Cr.

UE4 - 80 h - Coefficient : 1,6 - ECTS : 7,4 Cr - Responsables des matières : A. Mathias ; O. Frécon
Matières Cours TD Total
Théorie des corps 25 25
50
Théorie des modèles 15
15
30


UE5 - 95 h - Coefficient : 1,9 - ECTS : 9,4 Cr - Responsables des matières : O. Frecon ; C. Delhommé ; A. Mathias
Matières Cours TD Total
Analyse A et Analyse B  30
30
60
Théorie des ensembles 17
18
35


UE6 - 80 h - Coefficient : 1,6 - ECTS : 8 Cr - Responsables des matières : S. Poirier 
Matières Cours TD Total
Géométrie différentielle 25
25
50


UE8-2 - Option 2 (MIM)  - 50h - Coefficient 1 - ECTS : 7Cr - Responsable des matières : Y. Dumont
Matières Cours TD TP Total
Analyse convexe et optimisation
25
25
50


UE7 - 50h - Coefficient 1 - ECTS : 4 Cr
    TER

Equipe pédagogique



Nom des enseignants
Enseignements
J.-P. Aubry (Prag)
Modules et algèbres
Serge Burckel Algorithmique et Informatique, Combinatoire
Philippe Charton Algorithmique et Informatique
Christian Delhommé
Analyse B
Yves Dumont
Analyse convexe et optimisation
Olivier Frécon Théorie des modèles, Analyse A
Emeric Gioan (Ater)
Cryptographie
Teodor Knapik Calculabilité et Complexité
Adrian Mathias Anglais scientifique, Théorie des corps, Théorie des ensembles
Marianne Morillon Topologie et analyse complexe
Charles-André PAYET Probabilité et statistique
Sylvain Poirier Géométrie différentielle

Pour toute question concernant cette maîtrise, contacter Christian Delhommé (delhomme at univ-reunion.fr)

 

Semestre I


UE 1. Modules et Algèbre.
Resp : J.-P. Aubry  
1. Généralités sur les modules et algèbres associatives.
2. Algèbre d’un monoïde et algèbre de polynômes et de séries formelles.
3. Ordre monomial, idéal monomial, algorithme de la division.
4. Bases de Gröbner et algorithme de Buchberger.
5. Elimination: résultant et l’utilisation des bases de Gröbner en géométrie algébrique.
6. Algèbre des invariants d’un groupe opérant sur k[X_1, ... X_n]. Polynômes symétriques. Théorème de finitude de Noether et série de Poincaré.

UE 1.2  Algorithmique et Informatique.
Resp : Ph.Charton, S. Burckel  
Utilisation des logiciels Matlab, Scilab et Mupad.

UE 2.1. Topologie et analyse complexe.
Resp : M.Morillon
1.a Compacité.  Lemme de Zorn, filtres et ultrafiltres sur un ensemble. Théorème de Tychonov. Applications. 
Théorème d’Ascoli. Hahn-Banach. Topologie faible.
1.b Théorème de Baire et applications (continuité jointe et séparée …, Banach -Steinhaus).  
2. Analyse complexe.
Théorème de Montel. Théorème de Runge-Mergelyan.
Représentation conforme de Riemann. Transformation conforme, fonctions elliptiques, surfaces de Riemann.

UE 2.2 Anglais scientifique.
Resp : A. Mathias  
Cours de Mathématiques en langue anglaise.
  
UE 3.1 Probabilité et Statistiques.
Resp : C.-A.Payet
Rappels de probabilité - rappels de statistique - processus
aléatoires à temps discret, gaussien, stationnaire - prédiction et stationnarité - processus ARMA - processus de Markov - optimisation stochastique, ....

UE 3.2 Combinatoire.
Resp : S. Burckel
Cours : Combinatoire des graphes et des mots
L’objectif de ce cours est de présenter les notions élémentaires et les outils classiques intervenant en combinatoire, tant dans l’étude des graphes que dans celle des mots.
1. Dans une première partie, nous aborderons divers problèmesde graphes en nous intéressant plus particulièrement aux aspects algorithmiques et aux aspects constructifs. Les principaux sujets traités seront :
- connexité, arbre couvrant de poids minimum, plus courts chemins, recherche en largeur et en profondeur, diamètre des réseaux;
- graphes eulériens et graphes hamiltoniens, problème du voyageur de commerce et du postier chinois;
- flots, k-connexité (théorèmes de Menger), couplages parfaits et coloration.
-2 Dans une seconde partie, nous introduirons les outils de base de la combinatoire des mots, comme la récurrence, l’entropie, la complexité, ou le graphe des mots à travers des exemples. Nous présenterons ensuite diverses applications de la combinatoire des mots à la dynamique symbolique et à la dynamique stochastique.

Semestre II


UE 4.1 Théorie des corps.
Resp : A.R.D.Mathias
1. Extensions algébriques et transcendentales.  Réduction des polynômes. Corps de rupture et corps de décomposition d’un polynôme.
2. Caractéristique d’un corps. Corps finis commutatifs. Sous-groupes multiplicatifs finis d’un corps.
3. Polynômes séparables ; racines répétées.
4. Théorème de l’élément primitif. Normes et traces. Polynômes cyclotomiques. Le théorème de Wedderburn.
5. Automorphismes des corps commutatifs. La correspondance de Galois. Groupes et polynômes résolubles, extensions normales. Les équations quintiques.

UE 4.2 Théorie des modèles.
Resp : O.Frécon
1. Vérité dans une structure.
2. Extensions élémentaires. Compacité logique.  
3. Types. Modèles saturés. Modèles premiers.
4. Applications : théorèmes des zeros de Hilbert. Corps algébriquement clos. Corps différentiellement clos.

UE 5.1 Analyse A : Théorie des opérateurs.
Resp : O.Frécon
1. Rappels en dimension finie.
Sous-espaces caractéristiques associés à un endomorphisme scindé ; les projections sur ces sous-espaces sont polynomiales en cet endomorphisme.
Calcul fonctionnel analytique. Applications.  Exponentielle d’unematrice réelle ou complexe. Réduction des endomorphismes normaux d’un espace vectoriel hermitien ou euclidien. Complexification d’un espace vectoriel réel ou d’une algèbre réelle.
2. Théorie spectrale élémentaire. Algèbres de Banach unitaires réelles ou complexes.
Spectre d’un élément. Spectre, résolvante d’un opérateur linéaire continu. Calcul fonctionnel analytique.
3. Opérateurs compacts.  
Exemples d’opérateurs compacts. Alternative de Fredholm.
4. Opérateurs normaux compacts.
Rappels sur les Hilbert: projection sur un convexe fermé, théorème de Riesz,adjoint d’un endomorphisme continu, bases hilbertiennes.
Décomposition spectrale des opérateurs normaux compacts. Cas desopérateurs compacts autoadjoints. Opérateurs de Hilbert-Schmidt.
5. Applications. Equations de Volterra. Problèmes de Sturm-Liouville.

UE 5.2 Analyse B : Intégration.
Resp : C.Delhommé
1. Mesures signées. Décomposition de Lebesgue, Hahn.
Théorème de Radon-Nikodym. Continuité absolue.
2. Mesures de Radon.  Théorèmes de Stone-Weierstrass. Densité du sous-espace des fonctions continues à support compact dans Lp. Représentation des mesures de Radon sur un espace localement compact.
3. Convolution. Régularisation
Densité des fonctions infiniment différentiables  dans Lp(U).  
4. Uniforme convexité des espaces Lp, 1<p.  
Théorème de Milman.

UE 5.3 Théorie des ensembles.
Resp : A.R.D.Mathias
1. Discussion des axiomes. Théorie de la récursion abstraite.
2. Arithmétique des ordinaux et des cardinaux.
3. Introduction aux ensembles boréliens et analytiques.
4. Théorie des jeux infinis.
5. Ensembles stationnaires. Le principe diamond. Les cardinaux mesurables.

UE 6. Géométrie différentielle.
Resp : S. Poirier
Variété topologique, structure différentiable, fibrés, formes différentielles, théorème de Stokes ; structure riemannienne, courbure, théorème de Gauss-Bonnet, applications.

UE 7 Travail d’étude et de recherche.

Options

Opt 1 (MINF)
Opt 1.1 Calculabilité et Complexité.
Resp : T. Knapik
Fonctions récursives; modèles de machines: Turing, Minsky; déterminisme et non-déterminisme; classes de complexité : NP-complétude; réduction des problèmes; quelques problèmes indécidables; Théorème de Gödel.

Opt 1.2 Codes et cryptographie
1. (partie non traitée cette année) Courbes et codes. La théorie des codes correcteurs d’erreur a pour but de protéger les transmissions de données des erreurs qui peuvent y survenir (dues par exemple au bruit dans une ligne de communication). Une des techniques pour construire des codes efficaces se sert des courbes sur des corps finis.
2. Cryptographie (Emeric Gioan). La cryptographie à clé secrète, la cryptographie à clé publique et leurs divers standards : chiffrements - échanges de clés - signatures - procédés d’authentification - contrôles d’intégrité - fonctions à sens unique - méthodes arithmétiques et géométriques (primalité, factorisation, courbes elliptiques et hyperelliptiques).

Opt 2  (MINF) Optimisation.
Resp : Y. Dumont
Quelques éléments du cours d’analyse convexe et d’optimisation :
Le but de ce cours est d’introduire la théorie de l’Analyse convexe et de l’appliquer des problèmes d’optimisation. Ensemble convexe, théorèmes de séparation, fonctions convexes, semi-continues inférieurement. Sous-différentiabilité, calcul sous-différentiel, dualité de Fenchel, theorèmes Min-Max.
Optimisation linéaire, optimisation convexe, optimisation  différentiable, optimums de Pareto ....
Pour toute question concernant cette maîtrise, contacter C. Delhommé (delhomme at univ-reunion.fr)
Page web mise en ligne par S. Poirier.