1. Généralités sur les modules et algèbres associatives.
2. Algèbre d’un monoïde et algèbre de polynômes et de séries formelles.
3. Ordre monomial, idéal monomial, algorithme de la division.
4. Bases de Gröbner et algorithme de Buchberger.
5. Elimination: résultant et l’utilisation des bases de Gröbner en géométrie algébrique.
6. Algèbre des invariants d’un groupe opérant sur k[X_1, ... X_n]. Polynômes symétriques. Théorème de finitude de Noether et série de Poincaré.

Utilisation des logiciels Matlab, Scilab et Mupad.

1.a Compacité.  Lemme de Zorn, filtres et ultrafiltres sur un ensemble. Théorème de Tychonov. Applications. 
Théorème d’Ascoli. Hahn-Banach. Topologie faible.
1.b Théorème de Baire et applications (continuité jointe et séparée …, Banach -Steinhaus).  
2. Analyse complexe.
Théorème de Montel. Théorème de Runge-Mergelyan.
Représentation conforme de Riemann. Transformation conforme, fonctions elliptiques, surfaces de Riemann.

Cours de Mathématiques en langue anglaise.

L’objectif de ce cours est de présenter les notions élémentaires et les outils classiques intervenant en combinatoire, tant dans l’étude des graphes que dans celle des mots.
1. Dans une première partie, nous aborderons divers problèmesde graphes en nous intéressant plus particulièrement aux aspects algorithmiques et aux aspects constructifs. Les principaux sujets traités seront :
- connexité, arbre couvrant de poids minimum, plus courts chemins, recherche en largeur et en profondeur, diamètre des réseaux;
- graphes eulériens et graphes hamiltoniens, problème du voyageur de commerce et du postier chinois;
- flots, k-connexité (théorèmes de Menger), couplages parfaits et coloration.
-2 Dans une seconde partie, nous introduirons les outils de base de la combinatoire des mots, comme la récurrence, l’entropie, la complexité, ou le graphe des mots à travers des exemples. Nous présenterons ensuite diverses applications de la combinatoire des mots à la dynamique symbolique et à la dynamique stochastique.

1. Extensions algébriques et transcendentales.  Réduction des polynômes. Corps de rupture et corps de décomposition d’un polynôme.
2. Caractéristique d’un corps. Corps finis commutatifs. Sous-groupes multiplicatifs finis d’un corps.
3. Polynômes séparables ; racines répétées.
4. Théorème de l’élément primitif. Normes et traces. Polynômes cyclotomiques. Le théorème de Wedderburn.
5. Automorphismes des corps commutatifs. La correspondance de Galois. Groupes et polynômes résolubles, extensions normales. Les équations quintiques.

1. Vérité dans une structure.
2. Extensions élémentaires. Compacité logique.  
3. Types. Modèles saturés. Modèles premiers.
4. Applications : théorèmes des zeros de Hilbert. Corps algébriquement clos. Corps différentiellement clos.

1. Rappels en dimension finie.
Sous-espaces caractéristiques associés à un endomorphisme scindé ; les projections sur ces sous-espaces sont polynomiales en cet endomorphisme.
Calcul fonctionnel analytique. Applications.  Exponentielle d’unematrice réelle ou complexe. Réduction des endomorphismes normaux d’un espace vectoriel hermitien ou euclidien. Complexification d’un espace vectoriel réel ou d’une algèbre réelle.
2. Théorie spectrale élémentaire. Algèbres de Banach unitaires réelles ou complexes.
Spectre d’un élément. Spectre, résolvante d’un opérateur linéaire continu. Calcul fonctionnel analytique.
3. Opérateurs compacts.  
Exemples d’opérateurs compacts. Alternative de Fredholm.
4. Opérateurs normaux compacts.
Rappels sur les Hilbert: projection sur un convexe fermé, théorème de Riesz,adjoint d’un endomorphisme continu, bases hilbertiennes.
Décomposition spectrale des opérateurs normaux compacts. Cas desopérateurs compacts autoadjoints. Opérateurs de Hilbert-Schmidt.
5. Applications. Equations de Volterra. Problèmes de Sturm-Liouville.

1. Mesures signées. Décomposition de Lebesgue, Hahn.
Théorème de Radon-Nikodym. Continuité absolue.
2. Mesures de Radon.  Théorèmes de Stone-Weierstrass. Densité du sous-espace des fonctions continues à support compact dans Lp. Représentation des mesures de Radon sur un espace localement compact.
3. Convolution. Régularisation
Densité des fonctions infiniment différentiables  dans Lp(U).  
4. Uniforme convexité des espaces Lp, 1<p.  
Théorème de Milman.

1. Discussion des axiomes. Théorie de la récursion abstraite.
2. Arithmétique des ordinaux et des cardinaux.
3. Introduction aux ensembles boréliens et analytiques.
4. Théorie des jeux infinis.
5. Ensembles stationnaires. Le principe diamond. Les cardinaux mesurables.